抛物线与几何计算说理（1）——中考备考系列[尖子生之路]

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抛物线与几何计算说理（1）

——中考备考系列

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【试题1】已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax²（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）若∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，求a的值．

（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B的坐标．

（3）延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO．

【图文解析】

（1）简析：先画出符合条件的相对准确的图形，如下图示：

根据抛物线的对称性和等边三角形的性质，不难得到：

将所得到的B点坐标代入y＝ax²（a＞0）即可得到所求的a的值为：根号3。

（2）先画出符合条件的相对准确的图形，如下图示：

利用平行线等分线段定理，进行“斜化直”，得到：

同时∠AOB＝90°，不难联想到“直角”常用的相关思路和辅助线，得到：

由△AOD∽OBE（或三角函数的定义）得：16a:4=1:a，解得a＝1/2（负值舍去），所以点B的坐标是（1，1/2）．

（3）如下图示，（两种情况只是图形位置不同，解题思路和方法完全一样）

由于A、B两点均在抛物线上，所以有：

当然OC的长的求法，也可由OC∥AE得△BOC∽△BEA，然后利用“对应高的比等于相似比”得到：OC：AE＝BN：BM.……

综上，DE＝OC.

法三：

所以AD/DE＝AC/BC，进一步地得到AD/AE＝AC/AB，又∠BAE＝∠BAE，因此△ACD∽△AEB，……，不难得到CD∥BE，又OC∥DE，所以四边形DEOC是平行四边形，因此DE＝OC.

法三：设A（x₁，a），B（x₂，a），则直线OB的解析式为y＝ax₂x.

另一方面，在y＝kx＋b中，由x_C＝0，得y_C＝b．即OC＝b．

综上，DE＝CO． 

【反思】第3小题的三种解法，其本质都一样。另试题本身含较丰富的参数的计算，因此式的变形正确与否在本题中就显得非常重要。

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【试题2】如图，已知二次函数y=ax²+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．

（1）求二次函数y=ax²+bx+4的表达式；

（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

【图文解析】

（1）简析：只需将点B、点C的坐标分别代入y=ax²+bx+4可得关于a、b的方程组，即可得到a、b的值。答案为：

y=1/4x²+3/2x+4.

（2）由于A（0，4）、B（－2，0），C（8，0），不难得到OA＝4，BC＝10，设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．如下图示，

法一：先求S_△ABN＝0.5×(n+2)×4＝2n+4,

  由于A、M、B三点共线，所以S_△AMN：S_△ABN＝AM：AB，另一方面由NM∥AC可得AM：AB＝（8－n）：10，所以S_△AMN：S_△ABN＝（8－n）：10，化简，得：

  因﹣1/5＜0，当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大.

法二：由A（0，4）和C（8，0）先求出直线AC的解析式为y=－1/2x+4，再

由A（0，4）和B（－2，0）求出直线AC的解析式为y=2x+4.

      因为NM∥AC，所以可设直线MN的解析式为y=－1/2x+b，将点N（n，0）代入，1/2n+b＝0，解得b=1/2n，所以直线MN的解析式为y=－1/2x+1/2n＝－1/2（x－n）.如下图示：

     得到：y_M=(2n+4)/5.

  所以，S_△AMN＝S_△ABN－S_△BMN＝0.5×BN×OA－0.5×BN×MN＝0.5×BN×(OA－MN)＝0.5(n+2)[4－(2n+4)/5]＝……=－1/5(n－5)²+5.下同.

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【反思】虽然第二种方法较繁，但两种解法都是常用的解题思路.

（3）由（2）得N（3，0），此时N为BC边的中点，如下图示：

  由NM∥AC可得：AM：BM＝CN：BN＝1：1，即AM＝BM.

      在Rt△AOB中，由AM＝BM可得，OM＝1/2AB.如下图示：

  分别在Rt△AOB和Rt△AOC中，由勾股定理，可得AB＝2×根号5，AC＝4×根号5，所以AB＝1/2AC。如下图示：

（当然也可用相似来证AB＝1/2AC）.

      所以OM＝1/4AC.

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